Физический энциклопедический словарь - волновое уравнение
Волновое уравнение
где t — время, х, у, z — пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) — ф-ция, характеризующая возмущение среды в точке с координатами х, у, z в момент времени t, с — параметр с размерностью скорости, [ — оператор Д'Аламбера (даламбертиан), — оператор Лапласа (лапласиан).
Частными видами В. у. (1) явл. двухмерное и одномерное В. у.; последнее совпадает с ур-нием колебаний идеально упругой струны:
решение к-рого может быть представлено в виде двух волн, перемещающихся в пр-ве со скоростью с:
84
W=f1(x+ct)+ f2(x-ct). (3)
Каждая из этих волн и составляет моду, распространяющуюся только в одном направлении (±х) и удовлетворяющую В. у. 1-го порядка (ур-нию волны):
В. у. (1) допускает разделение переменных по координатам и времени: W=W1(x,y,z)(t). При гармонич. зависимости от времени, выраженной с помощью комплексной записи =еit, где (=kc, k — волн. число (см. Комплексная амплитуда). В. у. превращается в ур-ние Гельмгольца:
W+k2W =0, (5)
к-рое в двухмерном случае даёт ур-ние мембраны, а в одномерном — ур-ние осциллятора.
В. у. наз. неоднородным, если в его правой части стоит заданная ф-ция координат и времени, т. е.
W=f(x, y, z, t). (6)
В отличие от однородного В. у. неоднородное В. у., помимо собств. решений — нормальных волн, существующих независимо от источника, имеет и вынужденное решение, описывающее движения (колебания, волны и др.), возбуждённые источниками.
В. у. описывает почти все разновидности малых колебаний в распределённых механич. системах (продольные звук. колебания в газе, жидкости, тв. теле, поперечные колебания в струнах, на поверхности воды и др.). В. у. удовлетворяют компоненты векторов эл.-магн. поля и потенциалов, и поэтому многие явления эл.-магн. поля (от квазистатических до оптики) описываются с его помощью.
Среди нелинейных обобщений В. у. наиболее известны нелинейное ур-ние Клейна — Гордона:
W = m2W+F(W) (7)
(т — масса ч-цы), к-рое при F 0 вырождается в Клейна — Гордона — Фока уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца:
W + k2W=F(│W│2)W. (8)
Нелинейные В. у. позволяют описать такие явления, как вз-ствие монохроматич. волн, возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку. В квантовой механике В. у. иногда наз. Шрёдингера уравнение.
• Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977.
М. А. Миллер, Е. И. Якубович.
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 1384 | |
2 | 1053 | |
3 | 995 | |
4 | 944 | |
5 | 926 | |
6 | 829 | |
7 | 803 | |
8 | 802 | |
9 | 713 | |
10 | 711 | |
11 | 691 | |
12 | 638 | |
13 | 628 | |
14 | 615 | |
15 | 533 | |
16 | 525 | |
17 | 518 | |
18 | 502 | |
19 | 484 | |
20 | 480 |